Question

設(shè)函數(shù)f（x）的圖象為一條開口向上的拋物線．已知x，y均為不等正數(shù)，p＞0，q＞0且p+q=1，求證：f（px+qy）＜pf（x）+qf（y）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：設(shè)出f（x）的解析式，利用基本不等式確定p，q和x，y不等式關(guān)系，代入函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)整理．

解答： 證明：設(shè)f（x）=x²+ax+b
∵x，y均為不等正數(shù)，p＞0，q＞0，
∴pqx²+pqy²≥2pqxy，
∵x≠y，
∴pqx²+pqy²＞2pqxy，
即p（1-p）x²+（1-q）qy²＞2pqxy，
∴px²+qy²＞p²x²+2pqxy+q²y²，
∴（px²+qy²）+（pax+qay）+（pb+qb）＞（px+qy）²+（pax+qay）+b，
∴p（x²+ax+b）+q（y²+ay+b）＞（px+qy）²+a（px+qy）+b，
即f（px+qy）＜pf（x）+qf（y）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．考查了學(xué)生分析和推理的能力．