Question

某公園準備建一個摩天輪，摩天輪的外圍是一個周長為米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連．經預算，摩天輪上的每個座位與支點相連的鋼管的費用為元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為元．假設座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記摩天輪的總造價為元．
（Ⅰ）試寫出關于的函數關系式，并寫出定義域；
（Ⅱ）當米時，試確定座位的個數，使得總造價最低？

Answer 1

（Ⅰ）,（Ⅱ）當座位個數為個

解析試題分析：（Ⅰ）根據題意,相鄰的兩座位之間的弧長為米,則可推出摩天輪的總座位數,摩天輪的造價分成座位與支點相連的鋼管的費用和兩座位之間的鋼管和其中一個座位的費用兩部分之和,即:,化簡整理得到關于的函數關系式，又由題中所給至少有兩個座位可得;（Ⅱ）由米時，可對（Ⅰ）中的函數進一步化簡成關于的函數關系式，根據其特點可對函數進行求導,之后令,求得對應的值,從而求出函數最小值.
試題解析：解：（Ⅰ）設摩天輪上總共有個座位，則，即，
，（3分）
定義域；                   （6分）
（Ⅱ）當時，令
，
則，
∴，（11分）
當時，，即在上單調減，
當時，，即在上單調增，
在時取到，此時座位個數為個． （16分）
考點：1.函數應用題;2.導數求函數的最值