已知展開式的各項(xiàng)依次記為．

設(shè)．

（1）若的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求的值；

（2）求證：對(duì)任意，恒有.

 

【答案】

（1）（2）不等式的恒成立

【解析】

試題分析：解：（1）依題意，，

的系數(shù)依次為，，，

所以，解得；   4分

（2）

設(shè)，

則

考慮到，將以上兩式相加得：

所以

又當(dāng)時(shí)，恒成立，從而是上的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以對(duì)任意，． 10分

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用二項(xiàng)式定理以及導(dǎo)數(shù)的思想來(lái)證明不等式的成立，屬于基礎(chǔ)題。

 

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理科附加題：
已知展開式的各項(xiàng)依次記為a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．
設(shè)F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）．
（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）．

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理科附加題：
已知展開式的各項(xiàng)依次記為a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．
設(shè)F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）．
（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）．

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理科附加題：
已知展開式的各項(xiàng)依次記為a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．
設(shè)F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）．
（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）．

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理科附加題：
已知展開式的各項(xiàng)依次記為a1（x），a2（x），a3（x），…an（x），an+1（x）．
設(shè)F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）．
（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系數(shù)依次成等差數(shù)列，求n的值；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）．

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