Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在曲線C：

x=cosβ y=sinβ

（β為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)β分別為π和2π，動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4．
（Ⅰ）求M的軌跡方程；
（Ⅱ）求M到直線

x

4

+

y

2

=1的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（Ⅰ）由題意可得，點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0），由于動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，再根據(jù)橢圓的定義、性質(zhì)、標(biāo)準(zhǔn)方程求得M的軌跡方程．
（Ⅱ）設(shè)M（2cosα，

3

sinα），α為參數(shù)，則點(diǎn)M到直線

x

4

+

y

2

=1的距離為d=

4|sin(α+ π 6 )|

5

，可得d_min，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0），由于動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，
故點(diǎn)M的軌跡為以點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓，故有c=1，且2a=4，∴a=2，∴b²=a²-c²=3，
求M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)M（2cosα，

3

sinα），α為參數(shù)，則點(diǎn)M到直線

x

4

+

y

2

=1的距離為
d=

| 1 2 cosα+ 3 2 sinα|

1 16 + 1 4

=

4|sin(α+ π 6 )|

5

，∴d_min=0，即 M到直線

x

4

+

y

2

=1的最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，橢圓的定義、性質(zhì)、以及標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．