Question

已知函數(shù)f（x）=cos2x+1+

3

sin2x；求
（1）函數(shù)f（x）的周期；
（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件，先對(duì)函數(shù)f（x）化簡，將其整理成f（x）=2sin(2x+

π

6

)+1
（1）由求周期公式求出周期，由于ω=2，周期易求；
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，解出x的取值范圍即得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最值，可先求出相位2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，再求出sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，進(jìn)而求出函數(shù)的最值．

解答：解：f(x)=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1…（4分）
（1）最小正周期T=

2π

2

=π；                …（6分）
（2）當(dāng)2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

k∈Z時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．…（10分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)max=f(

π

6

)=3，f(x)min=f(

π

2

)=0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角恒等變換公式，利用公式進(jìn)行化簡，熟練掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)也很關(guān)鍵，本題中考查了求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域的方法，由內(nèi)而外求出函數(shù)的取值范圍，注意在解題時(shí)應(yīng)用此方法，三角函數(shù)最值用此方法求解比用單調(diào)性求解簡單不少．