Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠ADC=90°，△ABC為等邊三角形，且AA₁=AD=DC=2．
（Ⅰ）求異面直線AC₁與BC所成的角余弦值；
（Ⅱ）求證：BD⊥平面AC₁；
（Ⅲ）求二面角B-AC₁-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)C₁，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）由BD垂直面AC₁中兩相交直線，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證得線面垂直；
（3）先找出二面角的平面角，再在直角三角形中求出正切值即可．

解答：解：（Ⅰ）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BC∥B₁C₁
∠AC₁B₁是異面直線AC₁與BC所成的角（2分）
在△AC₁B₁中，AC₁=AB₁=2

3

，
C₁B₁=2

2

，cos∠AC₁B₁=

6

6

故異面直線AC1與BC所成的角的余弦值為

6

6

（4分）
（Ⅱ）因?yàn)锳D=DC，AB=BC可得BD⊥AC（垂直平分線）（5分）
又CC₁⊥平面ABCD，AC為AC₁平面ABCD上的射影（7分）
所以BD⊥面AC₁（8分）
（Ⅲ）設(shè)AC∩BD=O，由（Ⅱ）得BD⊥平面ACC₁，過O作OH⊥AC₁，垂足為
H，連接BH，則BH⊥AC₁，∠OHB為二面角B-AC₁-C的平面角（11分）
在Rt△OBH中，OB=

6

，OH=

6

3

?tan∠OHB=3（13分）
故二面角B-AC₁-C的正切值為3

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．