已知函數(shù)f（x）=lnx，其導函數(shù)為f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）設g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函數(shù)g（x）的極值；
（2）設
（i）求證：；
（ii）是否存在正整數(shù)n，使得當n＞n時，都有成立？若存在，求出一個滿足條件的
n的值；若不存在，請說明理由．
【答案】分析：（1）先求g（x）的導函數(shù)，再確定其單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值；
（2）（i）先證明，再進行累加可證；（ii）又，由（i）知，從而可以得n＞2010時，有，進一步有，從而可證．
解答：解：（1）因為，∴x∈（-a，1-a]時，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，當x∈[1-a，+∞），函數(shù)g（x）為增函數(shù)，所以當x=1-a時，函數(shù)g（x）取得極小值g（1-a）=1，沒有極大值；
（2）∵
（i）取a=1，由（1）知，當x＞0時有g（x）＞g（0）=1，即，∴，即
令，即，∴
分別取k=1，2，，n并累加得，∴
（ii）又，∴
由（i）知，即
當，即n＞2010時，有
令，∴
∴p（x）在[0，1）上為增函數(shù)，∴p（x）＞p（0），∴，∴
∴
分別取k=1，2，，n并累加得
綜上所述，存在正整數(shù)n=2010，使得當n＞n時，都有成立．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，考查不等式的證明，難度較大，有一定的技巧．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調(diào)遞減，在（
6
，+∞）上單調(diào)遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經(jīng)過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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