【題目】已知函數
.
（1）求函數
在點
處的切線方程；
（2）求函數在
上的值域；
（3）若存在
，使得
成立，求
的最大值.（其中自然常數
）
【答案】（1）
（2）
（3）
的最大值為6.
【解析】
）（1）對
求導得到
，然后代入切點橫坐標，得到斜率，點斜式寫出切線方程，整理得答案；（2）利用導數判斷出的單調性，根據單調性求出其最小值，并比較在兩個端點時的函數值，得到最大值，從而得到答案；（3）由（2）可得
，要使
成立，且的值最大，則
，
…
的值應最小，即
，
，從而得到
，從而得到的最大值為
.
解：（1）
，
∴
，又
，
∴
，即為所求切線的方程.
（2）
令
，得
（舍去負根）
所以
時，
，單調遞減，
時，
，單調遞增.
故
，
又因為
，
，
故
，
故
時，.
（3）由（2）知，時，.
所以有
而要使成立，且的值最大，
則，…每個的函數值應最小，
即，即，，
從而得到
，
所以，
所以的最大值為.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知曲線
的參數方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，以
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）設點
分別為曲線與曲線上的任意一點，求
的最大值；
（2）設直線
（
為參數）與曲線交于
兩點，且
，求直線
的普通方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學研究曲線
的性質，得到如下結論：①
的取值范圍是
；②曲線
是軸對稱圖形；③曲線上的點到坐標原點的距離的最小值為
. 其中正確的結論序號為（ ）
A.①②B.①③C.②③D.①②③
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】盡管目前人類還無法準確預報地震,但科學家通過研究,已經對地震有所了解,例如，地震釋放出的能量
(單位:焦耳)與地震里氏震級
之間的關系為
.
(1)已知地震等級劃分為里氏
級,根據等級范圍又分為三種類型,其中小于
級的為“小地震”,介于級到
級之間的為“有感地震”,大于級的為“破壞性地震”若某次地震釋放能量約
焦耳，試確定該次地震的類型;
(2)2008年汶川地震為里氏
級,2011年日本地震為里氏
級,問:2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的多少倍? (取
)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的焦點分別為
，
，橢圓的離心率為
，且經過點
，經過，作平行直線
，
，交橢圓于兩點
，
和兩點
，
.
（1）求的方程；
（2）求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以
為極點，
軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的參數方程為
為參數
，直線與曲線分別交于
兩點.
（1）若點
的極坐標為
，求
的值；
（2）求曲線的內接矩形周長的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（2017高考新課標Ⅲ，理19）如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
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