精英家教網(wǎng)過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）用p表示A，B之間的距離；
（2）證明：∠AOB的大小是與p無(wú)關(guān)的定值，并求出這個(gè)值．
分析：（1）焦點(diǎn)F（1，0），過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為
π
4
的直線方程是y=x-
p
2
由
y2=2px
y=x-
p
2
?x2-3px+
p2
4
=0，由此能用p表示A，B之間的距離．
（2）由題設(shè)知cos∠AOB=
|AO|2+|BO|2-|AB|2
2|AO||BO|
=
xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2
2
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
xAxB+yAyB
(xA2+yA2)(xB2+yB2)
=
2xAxB-
p
2
(xA+xB)+
p2
4
xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]
=-
3
41
41
，由此可知∠AOB的大小是與p無(wú)關(guān)的定值，并能求出這個(gè)定值．
解答：解：（1）焦點(diǎn)F（1，0），過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為
π
4
的直線方程是y=x-
p
2

由
y2=2px
y=x-
p
2
?x2-3px+
p2
4
=0?xA+xB=3p，xAxB=
p2
4
?|AB|=xA+xB+p=4p
（或|AB|=
2p
sin2
π
4
=4p）

（2）cos∠AOB=
|AO|2+|BO|2-|AB|2
2|AO||BO|

=
xA2+yA2+xB2+yB2-(xA-xB)2-(yA-yB)2
2
(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=
xAxB+yAyB
(xA2+yA2)(xB2+yB2)

=
2xAxB-
p
2
(xA+xB)+
p2
4
xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2]

=-
3
41
41

∴∠AOB的大小是與p無(wú)關(guān)的定值，∠AOB=π-arccos
3
41
41
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要仔細(xì)審題，認(rèn)真解答．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）試用p表示A、B之間的距離；
（3）當(dāng)p=2時(shí)，求∠AOB的余弦值．
參考公式：（xA2+yA2）（xB2+yB2）=xAxB[xAxB+2p（xA+xB）+4p2]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求直線AB的方程；
（2）試用p表示A、B之間的距離；
（3）證明：∠AOB的大小是與p無(wú)關(guān)的定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，求三棱錐的體積．
（2）過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π4
的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．用p表示A，B之間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2005•上海模擬）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分
過(guò)直角坐標(biāo)平面xOy中的拋物線y2?2px （p＞0）的焦點(diǎn)F作一條傾斜角為
π4
的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）用p表示A、B之間的距離并寫(xiě)出以AB為直徑的圓C方程；
（2）若圓C于y軸交于M、N兩點(diǎn)，寫(xiě)出M、N的坐標(biāo)，證明∠MFN的大小是與p無(wú)關(guān)的定值，并求出這個(gè)值．

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