Question

求數(shù)列1，3x，5x²，…，（2n-1）x^n-1前n項(xiàng)的和．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為s_n，等式兩邊都乘以x得xs_n，用xs_n-s_n得一新數(shù)列，求出之和轉(zhuǎn)化即可求出s_n．
解答：解：數(shù)列的前n項(xiàng)和設(shè)s_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1①
（1）當(dāng)x=0時(shí)，s_n=1；
（2）當(dāng)x=1時(shí)，s_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²，
（3）當(dāng)x≠1，x≠0時(shí)，給等式兩邊都乘以x得：x•s_n=x+3x²+5x³+…+（2n-3）x^n-1+（2n-1）xⁿ②
得：①-②得：（1-x）s_n=1+2x+2x²+…+2x^n-1-（2n-1）xⁿ=1-（2n-1）xⁿ+2（x+x²+x³+…+x^n-1）=1-（2n-1）xⁿ+
則s_n=．
綜上當(dāng)x=0時(shí)，s_n=1；當(dāng)x=1時(shí)，s_n=n²；當(dāng)x≠1時(shí)，s_n=．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)列遞推式來(lái)求和的能力．以及等比數(shù)列求和的方法．