Question

7．設(shè)x，y，z∈R，且$\frac{（x-1）^{2}}{16}$+$\frac{（y+2）^{2}}{5}$+$\frac{（z-3）^{2}}{4}$=1，求x+y+z最大值與最小值．

Answer 1

分析 將式子x+y+z寫成4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$+2的形式是解決本題的關(guān)鍵，再運(yùn)用柯西不等式求該式的最大值和最小值．

解答 解：∵x+y+z=4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$+2，
根據(jù)柯西不等式，（x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂）²≤（x₁²+y₁²+z₁²）•（x₂²+y₂²+z₂²）得，
（4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$）²≤（16+5+4）•[$\frac{（x-1）^2}{16}+\frac{（y+2）^2}{5}+\frac{（z-3）^2}{4}$]=25，
所以，|4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$|≤5，
即-5≤4•$\frac{x-1}{4}$+$\sqrt{5}$•$\frac{y+2}{\sqrt{5}}$+2•$\frac{z-3}{2}$≤5，
因此，x+y+z∈[-3，7]，
故，x+y+z的最大值為7，最小值為-3．

點(diǎn)評 本題主要考查了柯西不等式在求最值中的應(yīng)用，尤其是通過合理變形找到條件和目標(biāo)之間的關(guān)聯(lián)，需要一定的觀察能力和計(jì)算技巧，屬于中檔題．