如圖,一個(gè)等腰直角三角形的硬紙片△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,CD是斜邊上的高,沿CD把△ABC折成直二面角.

⑴如果你手中只有一把能夠量長(zhǎng)度的直尺,應(yīng)該如何確定A、B的位置,使得二面角ACDB是直二面角?證明你的結(jié)論.

⑵試在平面ABC上確定一點(diǎn)P,使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線垂直,證明你的結(jié)論.

⑶如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球,求出球的半徑的最大值.

(本題滿分14分)

解:⑴用直尺度量折后的AB長(zhǎng),若AB=4cm,則二面角A-CD-B是直二面角

∵△ABC是等腰直角三角形,∴ADDB

又∵ADDC,BDDC,∴∠ADC為二面角A-CD-B的平面角  4分

⑵取△ABC的中心P,連DP,則DP滿足條件

∵△ABC此時(shí)為正三角形,且ADDBDC

∵三棱錐D-ABC是正三棱錐,由P為△ABC的中心知DP⊥面ABC

DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線垂直    8分

(3)當(dāng)小球半徑最大時(shí),此時(shí)小球與三棱錐的四個(gè)面都相切

設(shè)該小球的球心為O,半徑為r,連結(jié)OAOB,OC,OD

三棱錐被分成了四個(gè)小三棱錐,且每個(gè)小三棱錐中有一個(gè)面上的高都為r

故有代入得即小球的半徑最大

值為     14分

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(1)如果你手中只有一把能夠量長(zhǎng)度的直尺,應(yīng)該如何確定A、B的位置,使得二面角A-CD-B是直二面角?證明你的結(jié)論.
(2)試在平面ABC上確定一點(diǎn)P,使DP與平面ABC內(nèi)任意一條直線垂直,證明你的結(jié)論.
(3)如果在折成的三棱錐內(nèi)有一個(gè)小球,求出球的半徑的最大值.

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1-
π
4
1-
π
4

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