已知集合D = {(x1，x2)|x1>0，x2>0，x1 + x2 = k，k為正常數(shù)}．

（Ⅰ）設u = x1x2，(x1，x2) ∈D，求u的取值范圍T；

（Ⅱ）求證：當k≥1時，不等式對任意(x1，x2) ∈D恒成立；

（Ⅲ）求使不等式對任意(x1，x2) ∈D恒成立的k的范圍．       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 【解析】（Ⅰ）∵x1>0，x2>0，∴x1x2≤，當且僅當x1 = x2 =時等號成立，故u的取值范圍為．

（Ⅱ）由于，設u= x1x2

由（1）0＜u≤，又k≥1，k2 – 1≥0，則    ……5分

設f (u) = u –+2，則f (u)在上是增函數(shù)．       

∴．

即當k≥1時，不等式成立．     ……8分

（Ⅲ）令，則，即求使f (u)>對u∈恒成立的k的范圍．

由（Ⅱ）知，要使對任意(x1，x2)∈D恒成立，必有0<k<1，因此1 – k2 >0，∴函數(shù)f (u) = u +在上遞減，在上遞增，要使函數(shù)f (u)在上恒有f (u)>f ()，必有<，即k4 + 16k2 – 16<0，解得0<k<2．                ……13分       

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}（其中k為正常數(shù)）．
（1）設u=x1x2，求u的取值范圍；
（2）求證：當k≥1時不等式(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)≤(
k
2
-
2
k
)2對任意（x1，x2）∈D恒成立；
（3）求使不等式(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)≥(
k
2
-
2
k
)2對任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合D={（ x1，x2）|x 1＞0，x 2＞0，x1+x2=k }，其中k為正常數(shù)
（1）若k=2，且u=x1?x2，求u的取值范圍
（2）若k=2，且y=(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)，求y的取值范圍．
（3）設y1=(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)，y2=(
k
2
-
2
k
)2，探究判斷y1和y2的大小關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：鹽城一模 題型：解答題

已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}（其中k為正常數(shù)）．
（1）設u=x1x2，求u的取值范圍；
（2）求證：當k≥1時不等式(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)≤(
k
2
-
2
k
)2對任意（x1，x2）∈D恒成立；
（3）求使不等式(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)≥(
k
2
-
2
k
)2對任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省南京六中高三（上）期中數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知集合D={（x1，x2）|x1＞0，x2＞0，x1+x2=k}（其中k為正常數(shù)）．
（1）設u=x1x2，求u的取值范圍；
（2）求證：當k≥1時不等式對任意（x1，x2）∈D恒成立；
（3）求使不等式對任意（x1，x2）∈D恒成立的k2的范圍．

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