Question

【題目】如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，以對(duì)角線BD為折痕把△ABD折起，使點(diǎn)A到達(dá)如圖所示點(diǎn)E的位置，使．

(1)求證：BD⊥EC；

(2)求三棱錐B-CE-D的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）二面角B-CE-D的余弦值為.

【解析】

（1）根據(jù)菱形的對(duì)角線相互垂直，得到CO⊥BD且AO⊥BD，所以BD⊥平面EOC，從而得證；

（2）先證明OB，OC，OE三者兩兩垂直，以O為坐標(biāo)原點(diǎn).OB，OC，OE所在直線分別x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O – xyz，求出平面BCE與平面CDE的法向量，代入公式即可得到結(jié)果．

（1）在圖1中，連接A、C，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，由四邊形ABCD為菱形可知，所以，由圖2可知

，

又，所以平面EOC，又平面EOC，所以.

（2）因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形且，所以為等邊三角形

又，所以.所以.

又中，，所以，所以.

又，所以，因?yàn)?/span>，所以平面BDC，所以OB，OC，OE三者兩兩垂直.

以O為坐標(biāo)原點(diǎn).OB，OC，OE所在直線分別x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系O – xyz，

則，

.

設(shè)平面BCE的法向量為

由得所以

令得；

設(shè)平面CDE的法向量為，

由得所以令得；故，

由圖可知二面角B-CE-D為銳角，所以二面角B-CE-D的余弦值為