Question

已知點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），直線PA與直線PB斜率之積為-，記點(diǎn)p的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)M，N是曲線C上任意兩點(diǎn)，且|-|=|+|，問(wèn)直線MN是否恒過(guò)某定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），則由直線PA與直線PB斜率之積為得（x≠±2），
整理得曲線C的方程為（x≠±2）．----（4分）
（Ⅱ）若，則．由題意知A（-2，0）．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
若直線MN斜率不存在，則N（x₁，-y₁），由得，
又，解得直線MN方程為x=-．----（6分）
若直線MN斜率存在，設(shè)方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴x₁+x₂=，x₁x₂=．----（8分）
由得，整理得（k²+1）x₁x₂+（km+2）（x₁+x₂）+m²+4=0
∴（k²+1）×+（km+2）×+m²+4=0．
解得m=2k或m=．----（10分）
若m=2k，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)（-2，0）不合題意舍去．
故m=，即直線MN過(guò)定點(diǎn)（-，0）．
斜率不存在時(shí)依然滿足．----（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），可表示出直線PA，PB的斜率，根據(jù)題意直線PA、PB的斜率之積為-，建立等式求得x和y的關(guān)系式，即點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）若，則，從而可得，分直線MN斜率存在與不存在討論，即可求得直線MN過(guò)定點(diǎn)（-，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理解題是關(guān)鍵．