Question

20．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)單位向量，且向量$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow$=x$\overrightarrow{{e}_{1}}$+3$\overrightarrow{{e}_{2}}$．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，且$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，求實(shí)數(shù)x的值；
（2）若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=x=1，求向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$便有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，從而得到$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（x\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）=0$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得到關(guān)于x的方程，從而求出實(shí)數(shù)x的值；
（2）可知$\overrightarrow=\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}$，從而有$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）=1$進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得到3+6+11cosθ=1，這便可得出cosθ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，又$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$為單位向量，$\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}=0$；
∴$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（x\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$=$3x{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+（9+2x）\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+6{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$=3x+6=0；
∴x=-2；
（2）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=x=1$；
∴$（3\overrightarrow{{e}_{1}}+2\overrightarrow{{e}_{2}}）•（\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}}）$=3+6+11cosθ=1；
∴$cosθ=-\frac{8}{11}$；
即向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$與$\overrightarrow{{e}_{2}}$的夾角θ的余弦值為$-\frac{8}{11}$．

點(diǎn)評 考查單位向量的概念，向量垂直的充要條件，以及數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式．