Question

已知兩個(gè)非零向量

a

與

b

，定義

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ，其中θ為

a

與

b

的夾角．若

a

+

b

=(-1，3)，

a

-

b

=(-1，-1)，則

a

×

b

=

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量

a

+

b

、

a

-

b

的坐標(biāo)，求得

a

=(-1，1)，

b

=(0，2)，結(jié)合向量數(shù)量積的公式，計(jì)算出

a

與

b

的長(zhǎng)度和夾角θ的余弦值．根據(jù)夾角θ的范圍，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系得到sinθ的值，最后利用公式

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ，即可算出答案．

解答：解：∵

a

+

b

=(-1，3)，

a

-

b

=(-1，-1)，
∴

a

=(-1，1)，

b

=(0，2)，
根據(jù)向量數(shù)量積的公式，得

a

•

b

=-1×0+1×2=2，
而

|a|

=

(-1)2+12

=

2

，

|b|

=

02+22

=2
結(jié)合θ為

a

與

b

的夾角，得cosθ=

a • b

|a| |b|

=

2

2 • 2

=

2

2

∵0≤θ≤π，∴θ=

π

4

，可得sinθ=

2

2

又∵

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ
∴

a

×

b

=

2

×2×

2

2

=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)新的定義

a

×

b

=|

a

||

b

|sinθ，通過求這個(gè)新定義的值，考查了向量和坐標(biāo)表示、向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式、向量的長(zhǎng)度公式及夾角公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．