Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2+1

-ax，x∈R，是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）在給定區(qū)間（0，∞）上是單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對f（x）求導(dǎo)，討論a的值，判斷等f′（x）＞0，或f′（x）≤0，從而得出f（x）是增函數(shù)，或減函數(shù)．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x2+1

-ax，x∈R，
∴f′（x）=

x

x2+1

-a=

x-a x2+1

x2+1

；
∵在（0，+∞）內(nèi)，

x2+1

＞0，∴

x2+1

＞x；
當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，a

x2+1

＞ax，
∴-a

x2+1

＜-ax，
∴x-a

x2+1

＜x-ax=x（1-a），
若1-a≤0，即a≥1，則f′（x）≤0，f（x）是減函數(shù)；
若1-a＞0，即0＜a＜1，則f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，a

x2+1

＜ax，
∴-a

x2+1

＞-ax，
∴x-a

x2+1

＞x-ax=x（1-a），
若1-a＞0，即a＜1，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
1-a≤0時(shí)不成立；
∴a＜0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
綜上，a＜1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
a≥1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時(shí)應(yīng)對字母系數(shù)進(jìn)行分類討論，是難題．