Question

4．如圖，半徑為4m的水輪繞著圓心O逆時針做勻速圓周運動，每分鐘轉動4圈，水輪圓心O距離水面2m，如果當水輪上點P從離開水面的時刻（P₀）開始計算時間．
（1）將點P距離水面的高度y（m）與時間t（s）滿足的函數(shù)關系；
（2）求點P第一次到達最高點需要的時間．

Answer 1

分析 （1）設點P到水面的距離y（m）與時間t（s）滿足函數(shù)關系$y=Asin（?t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，利用周期求得ω，當t=0時，y=0，進而求得φ的值，則函數(shù)的表達式可得．
（2）根據正弦函數(shù)的圖象和性質可得t=5+15k（k∈Z）即當k=0時，即t=5（s）時，點P第一次達到最高點．

解答 解：（1）以O為原點建立如圖所示的直角坐標系．
由于水輪繞著圓心O做勻速圓周運動，可設點P到水面的距離y（m）與時間t（s）滿足函數(shù)關系$y=Asin（?t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜\frac{π}{2}）$，
∵水輪每分鐘旋轉4圈，
∴$T=\frac{60}{4}=15$．
∴$?=\frac{2π}{T}=\frac{2π}{15}$．
∵水輪半徑為4 m，
∴A=4．
∴$y=4sin（\frac{2π}{15}t+φ）+2，（-\frac{π}{2}＜φ＜0）$．
當t=0時，y=0．
∴$φ=-\frac{π}{6}$．
∴$y=4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2$．
（2）由于最高點距離水面的距離為6，
∴$6=4sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）+2$．
∴$sin（\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}）=1$．
∴$\frac{2π}{15}t-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴當k=0時，即t=5（s）時，點P第一次達到最高點．

點評 本題主要考查了在實際問題中建立三角函數(shù)模型的問題，考查了運用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式．