Question

已知y＝f(x)是定義在區(qū)間(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，f(1)＝0．

(1)解不等式f(x)≥0；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)＝－x²＋mx－2m(x∈[0，1]，m∈R)，集合M＝{m|g(x)＜0}，集合N＝{m|f[g(x)]＜0}，求M∩N．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為f(x)為定義在區(qū)間(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)且f(1)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，則f(－1)＝－f(1)＝0； 　　當(dāng)x∈(0，＋∞)時，因為f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，由f(x)≥0得x≥1； 　　因為奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，又f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間(－∞，0)上也是增函數(shù)，又因為f(－1)＝0，所以當(dāng)x∈(－∞，0)時，由f(x)≥0得－1≤x＜0． 　　綜上所述，不等式f(x)≥0的解集為[－1，0)∪[1，＋∞)． 　　(2)由(1)可知f(x)≥0的解集為[－1，0)∪[1，＋∞)，因為f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f(x)＜0的解集為(－∞，－1)∪(0，1)．所以由f[g(x)]＜0得g(x)＜－1或0＜g(x)＜1，即N＝{m|g(x)＜－1或0＜g(x)＜1}，因為M＝{m|g(x)＜0}，所以M∩N＝{m|g(x)＜－1}．因為g(x)＝－x2＋mx－2m(x∈[0，1])，所以g(x)＜－1化為－x2＋mx－2m＋1＜0，即(x－2)m＋1－x2＜0，因為x∈[0，1]，所以m＞＝(x－2)＋＋4＝－[(2－x)＋]＋4，當(dāng)x∈[0，1]時，2－x＞0，根據(jù)函數(shù)h(t)＝t＋的圖象可知：－[(2－x)＋]＋4≤＋4，當(dāng)x＝時取等號，所以m＞＋4． 　　點評：本題所給函數(shù)是抽象函數(shù)，具有一定的綜合性；在解決第一問時可以借助函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性畫出草圖來幫助我們解題；在解決第二問時，可能有學(xué)生會分別求出集合M與N，然后再取交集，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生按照以上解答過程來解決省時省力．

提示：

本題中的函數(shù)f(x)是抽象函數(shù)，因此只能由函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的草圖來解決本題．