Question

設f（x）=2x²-lnx在區(qū)間（k-1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，其中（k-1，k+1）是f（x）定義域區(qū)間的一個子區(qū)間，則k的取值范圍是________．

Answer 1

分析：先求導函數(shù)，再進行分類討論，同時將函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)有正也有負，從而可求實數(shù)k的取值范圍．
解答：求導函數(shù)，f′（x）=4x-
①當k=1時，（k-1，k+1）為（0，2），函數(shù)在（0，）上單調(diào)減，在（，2）上單調(diào)增，滿足題意；
②當k≠1時，∵函數(shù)f（x）=2x²-lnx在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)
∴f′（x）在其定義域的一個子區(qū)間（k-1，k+1）內(nèi)有正也有負
∴f′（k-1）f′（k+1）＜0
∴（4k-4-）（4k+4-）＜0
∴×＜0
∴＜0
∵k-1＞0
∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，
∴（2k-3）（2k-1）＞＜0，解得1＜k＜
綜上知k的取值范圍是，
故答案為：．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析解決問題的能力，分類討論，等價轉(zhuǎn)化是關鍵．