Question

9．（1）已知數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=sin（{\frac{π}{2}{a_n}}）（{n∈{{N}^*}}）$，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求證：${S_n}＞n-\frac{5}{2}$．
（2）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a}_{n+1}=c{a}_{n}{+c}^{n+1}（2n+1）$，n∈N^*，其中實數(shù)c≠0．
（Ⅰ） 求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 若對一切k∈N^*有a_2k＞a_2k-1，求c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得1-a_n+1=1-sin（$\frac{π}{2}$a_n），令b_n=1-a_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，運(yùn)用分析法證明，結(jié)合x＞0時，sinx＜x，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，即可得證；
（2）（Ⅰ）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a}_{n+1}=c{a}_{n}{+c}^{n+1}（2n+1）$，n∈N^*，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{c}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$+2n+1，運(yùn)用數(shù)列恒等式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，化簡即可得到所求；
（Ⅱ）由對一切k∈N^*有a_2k＞a_2k-1，可得一切k∈N^*有4（c²-c）k²+4ck-c²+c-1＞0．設(shè)f（x）=4（c²-c）x²+4cx-c²+c-1，求出對稱軸和f（1）＞0，及c²-c≥0，可得c的范圍，證c在這個范圍內(nèi)不等式恒成立．即可得到所求范圍．

解答 解：（1）證明：數(shù)列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=sin（{\frac{π}{2}{a_n}}）（{n∈{{N}^*}}）$，
可得1-a_n+1=1-sin（$\frac{π}{2}$a_n），
令b_n=1-a_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，
由S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，要證${S_n}＞n-\frac{5}{2}$，
只需證n-S_n＜$\frac{5}{2}$，即證T_n＜$\frac{5}{2}$，
由b_n+1=1-sin（$\frac{π}{2}$（1-b_n））=1-sin（$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{2}$b_n）=1-cos$\frac{π}{2}$b_n=2sin²$\frac{π}{4}$b_n，
＜2（$\frac{π}{4}$b_n）²≤$\frac{{π}^{2}}{16}$b_n，
即T_n＜$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{{π}^{2}}{16}}$=$\frac{8}{{16-π}^{2}}$＜1.305＜$\frac{5}{2}$，
則${S_n}＞n-\frac{5}{2}$成立；
（2）（Ⅰ）在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，${a}_{n+1}=c{a}_{n}{+c}^{n+1}（2n+1）$，n∈N^*，
可得$\frac{{a}_{n+1}}{{c}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$+2n+1，
即有$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$=$\frac{{a}_{1}}{c}$+（$\frac{{a}_{2}}{{c}^{2}}$-$\frac{{a}_{1}}{c}$）+（$\frac{{a}_{3}}{{c}^{3}}$-$\frac{{a}_{2}}{{c}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{c}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{c}^{n-1}}$）=$\frac{1}{c}$+3+5+…+2n-1=$\frac{1}{c}$+n²-1，
可得a_n=（n²-1）cⁿ+c^n-1，
（Ⅱ）由對一切k∈N^*有a_2k＞a_2k-1，可得
一切k∈N^*有4（c²-c）k²+4ck-c²+c-1＞0．
設(shè)f（x）=4（c²-c）x²+4cx-c²+c-1，對稱軸為x=-$\frac{1}{2c-1}$，
由f（1）=3c²+c-1＞0，可得c＞$\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$或c＜$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$，
由c²-c≥0，即c≥1或c≤0，即有c≥1或c＜$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$，
下面證c在這個范圍內(nèi)不等式恒成立．
當(dāng)c≥1時，f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2c-1}$＜0，f（1）＞0，得證x≥1時，f（x）＞0成立；
當(dāng)c＜$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$時，f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2c-1}$＜$\frac{1}{2}$，可得f（x）在（1，+∞）遞增，f（1）＞0，
可得x≥1時，f（x）＞0成立．
綜上可得，c的范圍是（-∞，$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$）∪[1，+∞）．

點評 本題考查數(shù)列不等式的證明，注意運(yùn)用分析法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查數(shù)列通項公式的求法，注意運(yùn)用數(shù)列恒等式，考查數(shù)列不等式恒成立問題解法，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算和推理能力，屬于難題．