Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點．

（Ⅰ）求證AM//平面BDE；

（Ⅱ）求二面角A-DF-B的大小；

（Ⅲ）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°．

 

Answer 1

【答案】

（1）對于線面平行的證明，主要是分析借助于中位線來得到AM∥OE

（2）60º（3）P是AC的中點

【解析】

試題分析：解法一: (1)記AC與BD的交點為O,連接OE, ∵O、M分別是AC、EF的中點， ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，

∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．……4分

(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．

在RtΔASB中，

∴∴二面角A—DF—B的大小為60º．……8分

（3）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三

角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即點P是AC的中點．……12分

解法二： （1）建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，連接NE， 則點N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）,

∴, 又點A、M的坐標(biāo)分別是,（

∴ =（∴且NE與AM不共線，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．

（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．

∴為平面DAF的法向量．

∵=（·=0，

∴=（·=0得

，，∴NE為平面BDF的法向量．

∴cos<=∴AB與NE的夾角是60º．即所求二面角A—DF—B的大小是60º．

（3）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（0，， 0）

又∵PF和BC所成的角是60º．∴

解得或（舍去），即點P是AC的中點．

考點：空間中線面的位置關(guān)系

點評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)線面平行的判定定理，以及空間的法向量來求解二面角的平面角的大小，屬于中檔題。