Question

在平面直角坐標系xOy中，已知以O(shè)為圓心且面積最小的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點T．
（1）求出T點的坐標及圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內(nèi)動點P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數(shù)列，求

PA

•

PB

的范圍；
（3）設(shè)點T關(guān)于y軸的對稱點為Q，直線l與圓O交于M、N兩點，試求S=

QM

•

QN

×tan∠MQN的最大值，并求出S取最大值時的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）可知，要使圓O的面積最小，半徑最小，從而可得定點T（4，3）在圓上，可求圓O的方程
（2）可先設(shè)P（x₀，y₀），則科的

x

2 0

+

y

2 0

＜25…（1）由題意可得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，利用向量的數(shù)量積的坐標表示可得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，聯(lián)立可求y₀的范圍，代入可求求

PA

•

PB

的范圍
（3）直線l與圓O的一個交點為M（4，3），定點Q（-4，3），由向量的數(shù)量積的定義可得，

OM

•

ON

=2S_△MQN，從，要使S最大，則只要S_△MNQ最大，即N到MQ的距離最大即可

解答：解：（1）因為直線l：y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）…（2分）
由題意，要使圓O的面積最小，定點T（4，3）在圓上，
所以圓O的方程為x²+y²=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)P（x₀，y₀），則

x

2 0

+

y

2 0

＜25…（1）
∵

PA

=(-5-x0，-y0)，

PB

=(5-x0，-y0)，
由|

PA

|，|

PO

|，|

PB

|成等比數(shù)列得，|

PO

|2=|

PA

|•|

PB

|，
即

x

2 0

+

y

2 0

=

(x0+5)2+ y 2 0

•

(x0-5)2+ y 2 0

，
整理得：

x

2 0

-

y

2 0

=

25

2

，
即

x

2 0

=

25

2

+

y

2 0

…（2）
由（1）（2）得：0≤

y

2 0

＜

25

4

，

PA

•

PB

=(

x

2 0

-25)+

y

2 0

=2

y

2 0

-

25

2

，
當y₀=0時有最小值，當y02=

25

4

時，函數(shù)值為0
∴

PA

•

PB

∈[-

25

2

，0)．（10分）
（3）

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|cos∠MQN×tan∠MQN
=|

QM

|•|

QN

|sin∠MQN=2S△MQN，…（11分）
由題意，得直線l與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
直線l_MQ：y=3，
∴|MQ|=8，則當N（0，-5）時S_△MQN有最大值32．…（14分）
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值為64，
此時直線l的方程為2x-y-5=0．…（16分）

點評：本題主要考查了直線方程的點斜式在判斷直線恒過定點中的應(yīng)用，直線與圓相交關(guān)系的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標表示等知識的綜合應(yīng)用