Question

【題目】已知橢圓E： =1（a＞b＞0）過點（1， ），左右焦點為F1、F2 ， 右頂點為A，上頂點為B，且|AB|= |F1F2|．
（1）求橢圓E的方程；
（2）直線l：y=﹣x+m與橢圓E交于C、D兩點，與以F1、F2為直徑的圓交于M、N兩點，且 = ，求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓E： =1（a＞b＞0）焦點在x軸上，

∵橢圓E過點 ，

∴將點（1， ），代入橢圓方程得 ，①

由已知 ，

∴ ，即a2+b2=7c2②

又∵c2=a2﹣b2③，

將①②③聯(lián)立得 ，

∴橢圓方程為

（2）解：根據(jù)題意，以F1、F2為直徑的圓方程為x2+y2=1，

所以圓心（0，0）到直線l的距離為 ，所以|MN|= ，

設(shè)C（x1，y1），D（x1，y1），聯(lián)立 ，

化簡得7x2﹣8mx+4m2﹣12=0，△=48（7﹣m2）＞0，

，

由丨CD丨= ，

∴ = ，

由 得 ，

整理得 ，即 ，

經(jīng)檢驗，當 時，△=112（7﹣m2）＞0成立，

∴

【解析】（1）由題意可知：橢圓焦點在x軸上，將點（1， ）代入橢圓方程 ，由 ，c2=a2﹣b2 ， 聯(lián)立即可求得a和b的值，即可求得橢圓E的方程；（2）圓心（0，0）到直線l的距離為 ，所以|MN|= ，將直線方程方程代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式可知：|CD|= ，由 得 ，整理即可求得m的值．