Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD上⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E為PC的中點(diǎn)，AD=CD=l，BC=PC，DB=2
（Ⅰ）證明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

（Ⅰ）證明：設(shè)AC∩BD=H，連接EH，
在△ADC中，因?yàn)锳D=CD，且DB平分∠ADC，
所以H為AC的中點(diǎn)，
又E為PC的中點(diǎn)，從而EH∥PA，
因?yàn)镠E?平面BDE，PA?平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
（Ⅱ）證明：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC，
由（I）知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD?平面PBD，BD?平面PBD，
從而AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）解：在△BCD中，DC=1，DB=2，∠BDC=45°
得BC²=1²+（2）²-2×1×cos45°=5，
∴BC=．
在Rt△PDC中，PC=BC=，DC=1，從而PD=2，
S_ABCD=2S_△BCD=2，故四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD=．
分析：（Ⅰ）設(shè)AC∩BD=H，連接EH，說(shuō)明H為AC的中點(diǎn)，證明EH∥PA，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）通過(guò)直線與平面垂直證明PD⊥AC，然后證明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求出S_ABCD，然后求四棱錐P-ABCD的體積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，邏輯推理能力，計(jì)算能力．