Question

已知數(shù)列{a}滿足a₁=0， ，n=2，3，4，…
（Ⅰ）求a₅，a₆，a₇的值；
（Ⅱ）設(shè)，試求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）對(duì)于任意的正整數(shù)n，試討論a_n與a_n+1的大小關(guān)系。

Answer 1

解：(Ⅰ)a₁=0，a₂=1+2a₁=1，a₃=2+2a₁=2，a₄=l+2a₂=3，
a₅=3+2a₂=5；a₆=l+2a₃=5，a₇=4+2a₃=8；
(Ⅱ)由題設(shè)，對(duì)于任意的正整數(shù)n，都有：，
∴，
∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴；
(Ⅲ)對(duì)于任意的正整數(shù)k，
當(dāng)n= 2k或n=1，3時(shí)，a_n＜a_n+1；
當(dāng)n=4k+l時(shí)，a_n=a_n+1；
當(dāng)n=4k+3時(shí)，an＞a_n+1。
證明如下：首先，由a_l=0，a₂=1，a₃=2，a₄=3可知n=1，3時(shí)，an＜a_n+1；
其次，對(duì)于任意的正整數(shù)k，
n=2k時(shí)，
a_n-a_n+1=a_2k-a_2k+1=(1+2a_k)-(k+l+2a_k)=-k＜0；
n=4k+l時(shí)，
an-a_n+1=a_4k+l-a_4k+2=(2k+1+2a_2k)-(1+2a_2k+1)=2k+2a_2k-2a_2k+1
=2k+2(1+2a_k)-2(k+1+2a_k)=0，
所以a_n=a_n+1；
n=4k+3時(shí)，
a_n-a_n+1=a_4k+3-a_4k+4=(2k+2+2a_2k+1)-(1+2a_2k+2)
=2k+l+2a_2k+l-2a_2k+2=2k+1+2(k+1+2a_k)-2(1+2a_k+l)=4(k+a_k-a_k+l)+l，
事實(shí)上，我們可以證明：對(duì)于任意正整數(shù)k，k+a_k≥a_k+1(*)（證明見后），
所以，此時(shí)a_n＞a_n+1；
綜上可知：結(jié)論得證。
對(duì)于任意正整數(shù)k，k+a_k≥a_k+1(*)的證明如下：
1)當(dāng)k=2m(m∈N*)時(shí)，
k+a_k-a_k+1=2m+a_2m-a_2m+1=2m+(1+2a_m)-(m+l+2a_m)=m＞0，滿足(*)式；
2)當(dāng)k=l時(shí)，1+a₁=l=a₂，滿足(*)式；
3)當(dāng)k=2m+l(m∈N*)時(shí)，
k+a_k-a_k+1=2m+l+a_2m+l-a_2m+2=2m+l+（m+1+2a_m）-(1+2a_m+1)
=3m+l+2a_m-2a_m+1=2（m+ a_m-a_m+1）+(m+1)，
于是，只須證明m+a_m-a_m+1≥0，
如此遞推，可歸結(jié)為1）或2）的 情形，于是(*)得證。