Question

已知函數，x∈[0，1]，
（1）求f（x）的單調區(qū)間和值域；
（2）設a≥1，函數g（x）=x³-3ax-2a，x∈[0，1]，若對于任意x₁∈[0，1]，總存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）對函數f（x）求導，得，
令f′（x）=0解得，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，當時，f（x）是減函數；當時，f（x）是增函數，
當x∈（0，1）時，f（x）的值域為[-4，-3]。
（2）對函數g（x）求導，得，
∵a≥1，當x∈（0，1）時，，
因此當x∈（0，1）時，g（x）為減函數，
從而當x∈[0，1]時有，
又，
即當x∈[0，1]時有，
任給，
則，
即，
又a≥1，所以a 的取值范圍為。