Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，-

3

)，(0，

3

)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（Ⅰ）寫(xiě)出C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)

OA

⊥

OB

？此時(shí)|

AB

|的值是多少？．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是橢圓．從而寫(xiě)出其方程即可；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿(mǎn)足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及向量垂直的條件，求出k值即可，最后通牒利用弦長(zhǎng)公式即可求得此時(shí)|

AB

|的值，從而解決問(wèn)題．

解答：解：
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，-

3

)，(0，

3

)為焦點(diǎn)，
長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿(mǎn)足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1.

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．（6分）

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

．
所以k=±

1

2

時(shí)，x₁x₂+y₁y₂=0，故

OA

⊥

OB

．（8分）
當(dāng)k=±

1

2

時(shí)，x1+x2=?

4

17

，x1x2=-

12

17

．

|AB|

=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)(x2-x1)2

，
而（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂=

42

172

+4×

4×3

17

=

43×13

172

，
所以

|AB|

=

4 65

17

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力．