Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，于，延長AE交BC于F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示.

（1）求證：AE⊥平面BCD；
（2）求二面角A–DC–B的余弦值．
（3）在線段上是否存在點使得平面？若存在,請指明點的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）詳見解析，（2），（3）

試題分析：（1）已知條件為面面垂直，，因此可利用定理轉(zhuǎn)化為線面垂直.折疊前后皆有而平面，為兩平面的交線，由平面ABD平面BCD，可得AE⊥平面BCD.（2）求二面角，有兩個方法，一是做出二面角的平面角，二是利用空間向量.本題由于有AE⊥平面BCD，可利用三垂線定理及其逆定理做出二面角的平面角，即過點E作EM垂直CD于M，連AM，則AM垂直CD，所以為二面角的平面角.利用空間向量求二面角，關(guān)鍵求出面的法向量，由于平面可知平面DCB的法向量為.平面的法向量可列方程組求出，再利用向量的數(shù)量積求出其夾角的余弦值.（3）探索點，從線面平行性質(zhì)定理出發(fā)，利用平面得EM平行過EM平面與平面的交線.由于過EM平面的任意性，難以確定M位置.本題利用空間向量解決就比較簡單，設(shè)，利用法向量與平面內(nèi)任一直線垂直，可解出，從而確定M位置.
試題解析：（1）因為平面平面，交線為，
又在中，于，平面
所以平面.                   3分

（2）由（1）結(jié)論平面可得.
由題意可知，又.
如圖，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系
4分
不妨設(shè)，則.
由圖1條件計算得，，，
則   5分
.
由平面可知平面DCB的法向量為.                 6分
設(shè)平面的法向量為，則
即
令，則，所以.                  8分
平面DCB的法向量為
所以，
所以二面角的余弦值為               9分
（3）設(shè)，其中.
由于，
所以，其中             10分
所以             11分
由，即             -12分
解得.              13分
所以在線段上存在點使，且.      14分