Question

某電視臺(tái)綜藝頻道主辦一種有獎(jiǎng)過(guò)關(guān)游戲，該游戲設(shè)有兩關(guān)，只有過(guò)了第一關(guān)，才能玩第二關(guān)，每關(guān)最多玩兩次，連續(xù)兩次失敗者被淘汰出局．過(guò)關(guān)者可獲獎(jiǎng)金，只過(guò)第一關(guān)獲獎(jiǎng)金900元，兩關(guān)全過(guò)獲獎(jiǎng)金3600元．某同學(xué)有幸參與了上述游戲，且該同學(xué)每一次過(guò)關(guān)的概率均為，各次過(guò)關(guān)與否互不影響．在游戲過(guò)程中，該同學(xué)不放棄所有機(jī)會(huì)．
（1）求該同學(xué)僅獲得900元獎(jiǎng)金的概率；
（2）若該同學(xué)已順利通過(guò)第一關(guān)，求他獲得3600元獎(jiǎng)金的概率；
（3）求該同學(xué)獲得獎(jiǎng)金ξ的數(shù)學(xué)期望（精確到元）．

Answer 1

解：（1）∵該同學(xué)每一次過(guò)關(guān)的概率均為，各次過(guò)關(guān)與否互不影響，
該同學(xué)僅獲得900元獎(jiǎng)金表示該同學(xué)過(guò)了第一關(guān)，第二關(guān)參與活動(dòng)，但是都失敗，
設(shè)該同學(xué)僅獲得900元獎(jiǎng)金的事件為A，
則
（2）∵該同學(xué)已順利通過(guò)第一關(guān)，當(dāng)他通過(guò)第二關(guān)即可獲得3600元獎(jiǎng)金，
過(guò)第二關(guān)表示該同學(xué)在第二關(guān)時(shí)，至少有一次通過(guò)，它的對(duì)立事件是兩次都不通過(guò)，
∴他獲得3600元獎(jiǎng)金的概率
（3）由題意知該同學(xué)獲得獎(jiǎng)金ξ可取的值為0，900，3600
；
；
．
，
即該同學(xué)獲得獎(jiǎng)金ξ的數(shù)學(xué)期望為2933元
分析：（1）由題意知該同學(xué)每一次過(guò)關(guān)的概率均為，各次過(guò)關(guān)與否互不影響，而該同學(xué)僅獲得900元獎(jiǎng)金表示該同學(xué)過(guò)了第一關(guān)，第二關(guān)參與活動(dòng)，但是都失敗，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，得到結(jié)果．
（2）該同學(xué)已順利通過(guò)第一關(guān)，當(dāng)他通過(guò)第二關(guān)即可獲得3600元獎(jiǎng)金，過(guò)第二關(guān)表示該同學(xué)在第二關(guān)時(shí)，至少有一次通過(guò)，它的對(duì)立事件是兩次都不通過(guò)，根據(jù)對(duì)立事件的概率和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，得到結(jié)果．
（3）由題意知該同學(xué)獲得獎(jiǎng)金ξ可取的值為0，900，3600，根據(jù)上兩問(wèn)做出的概率，寫出分布列，作出期望．
點(diǎn)評(píng)：考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，相互獨(dú)立事件是指，兩事件發(fā)生的概率互不影響，而對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，遇到求用至少來(lái)表述的事件的概率時(shí)，往往先求它的對(duì)立事件的概率．