Question

【題目】已知分別是橢圓的長軸與短軸的一個端點， 是橢圓的左、右焦點，以點為圓心、3為半徑的圓與以點為圓心、1為半徑的圓的交點在橢圓上，且．

（1）求橢圓的方程；

（2）設為橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證： ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析．

【解析】試題分析：根據題意列方程，利用待定系數法解方程求出橢圓的標準方程，第二步設出點P的坐標，滿足橢圓方程作為條件（1），寫出直線AP、BP的方程，表示點M、N的坐標，得到和 的長的表達式，兩者相乘，代入條件（1）并化簡所得的積，化簡后恰好為.

試題解析：

（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為．

（2）由（1）及題意可畫圖，如圖，不妨令．設，則．

令，得，從而；直線的方程為，

令，得，從而．

所以

．

當時， ,

所以,綜上可知．