Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3，求實數(shù)a的值．

Answer 1

解：（1）∵，∴．
∵f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴≥0在[2，+∞）上恒成立，即a≤在[2，+∞）上恒成立．
令，則a≤[g（x）]_min，x∈[2，+∞）．
∵在[2，+∞）上是增函數(shù)，∴[g（x）]_min=g（2）=1．
∴a≤1．
所以實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．
（2）由（1）得，x∈[1，e]．
①若2a＜1，則x-2a＞0，即f'（x）＞0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上是增函數(shù)．
所以[f（x）]_min=f（1）=2a=3，解得（舍去）．
②若1≤2a≤e，令f'（x）=0，得x=2a．
當(dāng)1＜x＜2a時，f'（x）＜0，所以f（x）在（1，2a）上是減函數(shù)，
當(dāng)2a＜x＜e時，f'（x）＞0，所以f（x）在（2a，e）上是增函數(shù)．
所以[f（x）]_min=f（2a）=ln（2a）+1=3，解得（舍去）．
③若2a＞e，則x-2a＜0，即f'（x）＜0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上是減函數(shù)．
所以，所以a=e．
綜上所述，a=e．
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)：．根據(jù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，得出a≤在[2，+∞）上恒成立．令，則a≤[g（x）]_min，從而求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）得，x∈[1，e]．下面對2a進行分類討論：①若2a＜1，②若1≤2a≤e，③若2a＞e，分別討論函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為3列出等式求出a值即可．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．