【題目】已知函數(shù)對于任意的都有,當時,則

(1)判斷的奇偶性;

(2)求上的最大值;

(3)解關(guān)于的不等式.

【答案】(1) 函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

(2)6.

(3)見解析.

【解析】

分析:(1)取x=y=0可得f(0)=0;再取y=﹣x代入即可;

(2)先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再求函數(shù)的最值;

(3)由于f(x)為奇函數(shù),整理原式得 f(ax2)+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2);即f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2);再由函數(shù)的單調(diào)性可得ax2﹣2x>ax﹣2,從而求解.

詳解:(1)取x=y=0,

則f(0+0)=f(0)+f(0);

則f(0)=0;

取y=﹣x,則f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x),

f(﹣x)=﹣f(x)對任意xR恒成立

f(x)為奇函數(shù);

(2)任取x1,x2∈(﹣∞,+∞)且x1<x2,則x2﹣x1>0;

∴f(x2)+f(﹣x1)=f(x2﹣x1)<0;

∴f(x2)<﹣f(﹣x1),

f(x)為奇函數(shù)

∴f(x1)>f(x2);

f(x)在(﹣∞,+∞)上是減函數(shù);

對任意x∈[﹣3,3],恒有f(x)≤f(﹣3)

而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=﹣2×3=﹣6;

∴f(﹣3)=﹣f(3)=6;

f(x)在[﹣3,3]上的最大值為6;

(3)∵f(x)為奇函數(shù),

整理原式得 f(ax2)+f(﹣2x)<f(ax)+f(﹣2);

即f(ax2﹣2x)<f(ax﹣2);

而f(x)在(﹣∞,+∞)上是減函數(shù),

∴ax2﹣2x>ax﹣2;

∴(ax﹣2)(x﹣1)>0.

當a=0時,x∈(﹣∞,1);

當a=2時,x∈{x|x≠1且x∈R};

當a0時,;

當0<a<2時,

當a2時,

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