(2012•棗莊一模)如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點.
(1)求證:AF∥平面BCE;
(2)求直線BF和平面BCE所成角的正弦值.
分析:(1)設AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,利用向量的坐標運算得出
AF
=
1
2
(
BE
+
BC)
,AF?平面BCE,AF∥平面BCE.
(2)求出平面BCE的一個法向量
n
,利用
BF
n
的夾角求解即可.
解答:(1)證明:設AD=DE=2AB=2a,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz,則
A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,
3
a,0),E(a,
3
a,2a),.
∵F為CD的中點,∴F(
3
2
a,
3
2
a,0
).(2分)
AF
=(
3
2
a,
3
2
a,0
).
BE
=(a,
3
a,a),
BC
=(2a,0,-a),
AF
=
1
2
(
BE
+
BC)
,AF?平面BCE,
∴AF∥平面BCE.
(2)解:設平面BCE的法向量為
n
=(x,y,z),由
n
BE
=0
n
BC
=0
可得:
x+
3
y+z=0
2x-z=0
,取x=1,則
n
=(1,
3
,2),(8分)
BF
=(
3
2
a,
3
2
a,-a
),設BF和平面BCE所成的角為θ,
則sinθ=
|
BF
n
|
|
BF
|•|
n
|
=
2a
2a•2
2
=
2
4

∴直線BF和平面BCE所成角的正弦值為
2
4
.(12分)
點評:本題考查直線和平面平行的判定,線面角大小求解.由于本幾何體具有良好的建立空間直角坐標系的條件,所以選用了向量方法.可以降低空間想象難度,但要注意計算和關系的轉化.
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3
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3
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1
3
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2
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