Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是公比大小于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（II）設(shè)c_n=log₂a_n+1，數(shù)列{c_nc_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n，是否存在正整數(shù)m，使得T_n＜

1

cmcm+1

對(duì)于n∈N^*恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），利用S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，建立方程組，求得首項(xiàng)與公比，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a；
（II）先求通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)法求和，進(jìn)而解不等式，即可求得正整數(shù)m的最小值．

解答：解：（I）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q＞1），則∵S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，
∴

a1+a2+a3=7 a1+3+a3+4=6a2

∴

a1(1+q+q2)=7 a1(1-6q+q2)=-7

解得

a1=1 q=2

∴等比數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2^n-1；
（II）

1

cn

=log₂a_n+1=n，∴cn=

1

n

，∴cncn+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)]=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)＜

3

4

∴T_n＜

1

cmcm+1

對(duì)于n∈N^*恒成立，只需m（m+1）≥

3

4

∴m≤-

3

2

或m≥

1

2

∴正整數(shù)m的最小值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的求和，考查恒成立問(wèn)題，正確求通項(xiàng)與數(shù)列的和是關(guān)鍵．