Question

16．在各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，其前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆=1008，則$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值為（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． $\frac{1}{84}$
• D． $\frac{2}{251}$

Answer 1

分析 推導(dǎo)出a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，從而$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$=（$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{9}{{a}_{1016}}$）（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆），由此利用基本不等式能求出$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值．

解答 解：∵在各項(xiàng)為正實(shí)數(shù)的等差數(shù)列{a_n}中，其前2016項(xiàng)的和S₂₀₁₆=1008，
∴${S}_{2016}=\frac{2016}{2}（{a}_{1}+{a}_{2016}）$=1008（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆）=1008，
∴a₁₀₀₁+a₁₀₁₆=1，
∴$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$=（$\frac{1}{{a}_{1001}}+\frac{9}{{a}_{1016}}$）（a₁₀₀₁+a₁₀₁₆）=$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}$+$\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$+10
≥2$\sqrt{\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}×\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}}$+10=16．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{a}_{1016}}{{a}_{1001}}=\frac{9{a}_{1001}}{{a}_{1016}}$時(shí)，取等號(hào)，
∴$\frac{1}{{{a_{1001}}}}+\frac{9}{{{a_{1016}}}}$的最小值為16．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的兩項(xiàng)倒數(shù)和的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)、基本不等式的合理運(yùn)用．