Question

若集A={（x，y）|x²+mx-y+2=0，x∈R}，B={（x，y）|x-y+1=0，0≤x≤2}當A∩B≠∅時，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：問題等價于方程組在[0，2]上有解，
即x²+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，
令f（x）=x²+（m-1）x+1，
則由f（0）=1知拋物線y=f（x）過點（0，1），
∴拋物線y=f（x）在[0，2]上與x軸有交點等價于f（2）=2²+2（m-1）+1≤0 ①
或 ②
由①得m≤-，由②得-＜m≤-1，
∴實數m的取值范圍為（-∞，-1]．
分析：由A∩B≠∅，將問題轉化為方程組在[0，2]上有解，即x²+（m-1）x+1=0在[0，2]上有解，構造函數f（x）=x²+（m-1）x+1，則函數在[0，2]上有零點，結合二次函數的圖象和性質及零點存在定理，可得實數m的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是集合關系中的參數取值問題，方程的根與函數零點之間的關系，其中將集合有公共元素轉化為方程組有解，再轉化為函數有零點，進而借助函數的圖象和性質進行解答是本題的關鍵．