Question

（2012•九江一模）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（

π

2

x+

π

6

）-2sin²

π

4

x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，求S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為

3

sin（

π

2

x+

π

3

）-1，由此求得f（x）的最小正周期．
（2）在函數(shù)y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），則它關(guān)于原點的對稱點（-x，-g（x））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，由此求得 g（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

3

）+1，由此求得
函數(shù)g（x）的周期為4，求出g（1）+g（2）+g（3）+g（4）的值，即可求得S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（

π

2

x+

π

6

）-2sin²

π

4

x=

3

2

sin

π

2

x+

1

2

cos

π

2

x-2•

1-cos π 2 x

2

=

3

（

1

2

sin

π

2

x+

3

2

cos

π

2

x）-1=

3

sin（

π

2

x+

π

3

）-1，
故函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

π 2

=4．
（2）∵函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，在函數(shù)y=g（x）的圖象上任取一點
（x，g（x）），則它關(guān)于原點的對稱點（-x，-g（x））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
即點（-x，-g（x））的坐標(biāo)滿足函數(shù)y=f（x）的解析式，故有-g（x）=

3

sin（-

π

2

x+

π

3

）-1=-

3

sin（

π

2

x-

π

3

）-1，
∴g（x）=

3

sin（

π

2

x-

π

3

）+1，故函數(shù)g（x）的周期為4．
∵g（1）=

3

sin（

π

2

-

π

3

）+1=

3

2

+1，g（2）=

3

sin（

π

2

×2-

π

3

）+1=

3

2

+1，g（3）=

3

sin（

π

2

×3-

π

3

）+1=1-

3

2

，
g（4）=

3

sin（

π

2

×4-

π

3

）+1=1-

3

2

，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=4．
S=g（1）+g（2）+…+g（2012）=503（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））=503×4=2012．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，屬于中檔題．