Question

（本小題滿分12分）

如圖：四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，PA=BC=1，PD=AB=,E、F分別為線段PD和BC的中點(diǎn)．

(Ⅰ) 求證：CE∥平面PAF；

(Ⅱ) 在線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°？若存在，試確定G的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）取PA中點(diǎn)為H，連結(jié)CE、HE、FH，證出HE∥AD,,

由ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點(diǎn) 推出FC∥AD,，

從而進(jìn)一步得出CE∥平面PAF；

（2）線段BC上存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點(diǎn)G即為B點(diǎn)

【解析】

試題分析：證明（1）取PA中點(diǎn)為H，連結(jié)CE、HE、FH，

因?yàn)镠、E分別為PA、PD的中點(diǎn)，所以HE∥AD,,

因?yàn)锳BCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點(diǎn)   所以FC∥AD,

所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形    所以EC∥HF

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040308570820314249/SYS201304030857402968171254_DA.files/image004.png"> 

所以CE∥平面PAF        ……………4分

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形且∠ACB＝90°，

所以CA⊥AD      又由平面PAD⊥平面ABCD可得

CA⊥平面PAD     所以CA⊥PA    

由PA=AD=1，PD=可知，PA⊥AD…………5分                   

所以可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz

因?yàn)镻A=BC=1，AB=所以AC=1         所以

假設(shè)BC上存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，

設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1，a，0），    所以

設(shè)平面PAG的法向量為

則令 所以

又

設(shè)平面PCG的法向量為

則令所以       ……………9分

因?yàn)槠矫鍼AG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以

所以又所以                      ……………11分

所以線段BC上存在一點(diǎn)G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點(diǎn)G即為B點(diǎn)……12分

考點(diǎn)：本題主要考查立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計(jì)算。在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟。本題利用向量簡(jiǎn)化了證明過(guò)程。把證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化成向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這種方法帶有方向性。