設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且對(duì)?x∈R都有f(x+2)=-f(x),當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)=x3,
(1)求證:直線x=1是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;
(2)當(dāng)x=[1,5]時(shí),求函數(shù)f(x)的解析式.
分析:(1)直接根據(jù)f(x+2)=-f(x)=f(-x)對(duì)任意實(shí)數(shù)X成立即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)即可得到 f(x)是以4為最小正周期的周期函數(shù),再結(jié)合對(duì)稱軸以及周期即可求出x∈[1,5]時(shí),f(x)的解析式.
解答:解:解:(1)證明:因?yàn)槠婧瘮?shù),所以f(x+2)=-f(x)=f(-x)對(duì)任意實(shí)數(shù)X成立.
又因?yàn)閤+2,-x關(guān)于直線x=1對(duì)稱,
故:直線x=1是函數(shù)f(x)圖象上的一條對(duì)稱軸
(2)因?yàn)椋篺(x+2)=-f(x)
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
∴f(x)是以4為最小正周期的周期函數(shù)因?yàn)椋褐本x=1是函數(shù)f(x)圖象上的一條對(duì)稱軸;
所以:1≤x≤3的圖象與-1≤x≤1的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.
故:f(x)=-(x-2)3,1≤x≤3;
∵f(x)是以4為最小正周期的周期函數(shù)
∴把f(x)在-1≤x≤1的圖象向右平移四個(gè)單位,即可得f(x)在3≤x≤5上的圖象;
∴f(x)=(x-4)3,3≤x≤5.
∴f(x)=
-(x-2)3,(1≤x≤3)
(x-4)3,(3<x≤5)
;
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的周期性以及奇偶性,對(duì)稱性,注意:要特別利用好題中的關(guān)系式f(x+2)=-f(x).
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12
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