Question

已知曲線f（x）=

x-1

在點(diǎn)A（2，1）處的切線為直線l
（1）求切線l的方程；
（2）求切線l，x軸及曲線所圍成的封閉圖形的面積S．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x），再求出f'（1）的值得到曲線在點(diǎn)A處的切線斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)即得切線l的方程；
（2）算出曲線在x軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得所求面積為函數(shù)

1

2

x-

x-1

在[0，2]上的定積分的值，再利用積分計(jì)算公式加以計(jì)算即可得到答案．

解答：解：（1）∵求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=

1

2 x-1

∴曲線f（x）=

x-1

在點(diǎn)A（2，1）處的切線斜率為f'（2）=

1

2 2-1

=

1

2

因此，切線l的方程為y-1=

1

2

（x-2），化簡(jiǎn)得x-2y=0；
（2）令y=0，得f（1）=0，得曲線f（x）=

x-1

在x軸的交點(diǎn)為（1，0）
∴封閉圖形的面積為S=

∫

2 0

(

1

2

x-

x-1

)dx=[

1

4

x2-

2

3

(x-1)

3

2

]

|

2 1

=

1

3

即切線l，x軸及曲線所圍成的圖形面積為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出曲線f（x）=

x-1

在點(diǎn)A處的切線方程，并依此求封閉圖形的面積．著重考查了切線的方程求法、定積分的幾何意義和積分計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．