Question

已知離心率為的橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），M、N分別是直線上的兩上動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)P（m，0）的直線交橢圓于B、E兩點(diǎn)，A為B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)（A、P、B不共線），問：直線AE是否會(huì)經(jīng)過x軸上一定點(diǎn)，并求AE過橢圓焦點(diǎn)時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先由e=得a=2c，得=4c，利用=0求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)與c之間的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|MN|的表達(dá)式，進(jìn)而利用其最小值求出橢圓方程；
（Ⅱ）先把直線PB方程與橢圓方程聯(lián)立，求出B、E兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的等式并表示出直線AE的方程，令y=0得x，看此時(shí)求出的x的值是否為定值即可，再利用AE過橢圓焦點(diǎn)即可求m的值．
解答：解：（Ⅰ）由e=得a=2c，于是=4c，
設(shè)M（4c，y₁），N（4c，y₂），
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024180229589926194/SYS201310241802295899261019_DA/5.png">=0，所以15c²+y₁y₂=0，所以y₁y₂=-15c²＜0，
∴||===≥，
∴=2⇒c=1，a=2，b=．
橢圓方程為=1．
（Ⅱ）設(shè)PB方程為y=k（x-m），代入=1
得（4k²+3）x²-8k²mx+（4m²k²-12）=0，
設(shè)B（x₁，y₁），E（x₂，y₂）則A（x₁，-y₁），
直線AE的方程為y-y₂=（x-x₂），令y=0得x=，
又y₁=k（x₁-m），y₂=k（x₂-m）代入上式得x=，
而x₁+x₂=，代入得x=，
所以AE過軸上定點(diǎn)（，0），
要使AE過橢圓焦點(diǎn)則．
所以m=±4．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系以及平面向量，兩點(diǎn)間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí)．