【題目】如圖,四棱錐中,底面是菱形,.
(1)證明:平面平面;
(2)若,,,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)通過菱形的性質(zhì)證得,通過等腰三角形的性質(zhì)證得,由此證得平面,從而證得平面平面.
(2)方法一通過幾何法作出二面角的平面角,解三角形求得二面角的余弦值.方法而通過建立空間直角坐標系,利用平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.
(1)證明:記,連接.
因為底面是菱形,
所以,是的中點.
因為,所以.
因為,
所以平面.
因為平面,所以平面平面.
(2)因為底面是菱形,,,
所以是等邊三角形,即.
因為,所以.
又,,所以,
即.
方法一:因為是的中點,所以,
因為,所以,
所以和都是等腰三角形.
取中點,連接,則,且,
所以是二面角的平面角.
因為,且,
所以.
因為,
,
所以.
所以二面角的余弦值為.
方法二:如圖,以為坐標原點,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系,
則,,,,
所以,,.
設(shè)平面的法向量為
由,得,
令,得.
同理,可求平面的法向量.
所以
.
所以,二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓與拋物線的一個公共點,且橢圓與拋物線具有一個相同的焦點.
(1)求橢圓及拋物線的方程;
(2)設(shè)過且互相垂直的兩動直線,與橢圓交于兩點,與拋物線交于兩點,求四邊形面積的最小值
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題中,正確的個數(shù)是( )
①直線上有兩個點到平面的距離相等,則這條直線和這個平面平行;
②為異面直線,則過且與平行的平面有且僅有一個;
③直四棱柱是直平行六面體;
④兩相鄰側(cè)面所成角相等的棱錐是正棱錐.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】20名學生某次數(shù)學考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學生中人選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】汽車尾氣中含有一氧化碳(),碳氫化合物()等污染物,是環(huán)境污染的主要因素之一,汽車在使用若干年之后排放的尾氣中的污染物會出現(xiàn)遞增的現(xiàn)象,所以國家根據(jù)機動車使用和安全技術(shù)、排放檢驗狀況,對達到報廢標準的機動車實施強制報廢.某環(huán)保組織為了解公眾對機動車強制報廢標準的了解情況,隨機調(diào)查了100人,所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表:
不了解 | 了解 | 總計 | |
女性 | 50 | ||
男性 | 15 | 35 | 50 |
總計 | 100 |
(1)若從這100人中任選1人,選到了解機動車強制報廢標準的人的概率為,問是否有的把握認為“對機動車強制報廢標準是否了解與性別有關(guān)”?
(2)該環(huán)保組織從相關(guān)部門獲得某型號汽車的使用年限與排放的尾氣中濃度的數(shù)據(jù),并制成如圖所示的折線圖,若該型號汽車的使用年限不超過15年,可近似認為排放的尾氣中濃度與使用年限線性相關(guān),試確定關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測該型號的汽車使用12年排放尾氣中的濃度是使用4年的多少倍.
附:()
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式:,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點為、,,若圓Q方程,且圓心Q在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線交橢圓于A、B兩點,過直線上一動點P作與垂直的直線交圓Q于C、D兩點,M為弦CD中點,的面積是否為定值?若為定值,求出此定值;若不為定值,說明你的理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線過點,且P到拋物線焦點的距離為2直線過點,且與拋物線相交于A,B兩點.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)若點Q恰為線段AB的中點,求直線的方程;
(Ⅲ)過點作直線MA,MB分別交拋物線于C,D兩點,請問C,D,Q三點能否共線?若能,求出直線的斜率;若不能,請說明理由.
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