Question

【題目】給出定理：在圓錐曲線中，是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為.若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，則的面積，試運(yùn)用上述定理求解以下各題：

（1）若，所在直線的方程為，是的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，求；

（2）已知是拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)為，分別為和的中點(diǎn)，過(guò)且平行于軸的直線與拋物線分別交于點(diǎn)，若兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，求和；

（3）請(qǐng)你在上述問(wèn)題的啟發(fā)下，設(shè)計(jì)一種方法求拋物線：與弦圍成成的“弓形”的面積，并求出相應(yīng)面積.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）設(shè)計(jì)方法見(jiàn)詳解，

【解析】

（1）由題意，先計(jì)算出，然后直接根據(jù)求解的值；

（2）根據(jù)條件可知，的面積計(jì)算符合定理的計(jì)算方法，故可直接利用定理中的計(jì)算方法求解的值；

（3）對(duì)“弓形”進(jìn)行無(wú)數(shù)次（2）中的操作，每操作一次面積增加的量構(gòu)成等比數(shù)列，因此面積可以寫(xiě)成極限式：，求此極限的結(jié)果即為“弓形”面積.

（1）聯(lián)立可得：，所以，所以；

（2）設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，由題意可知為拋物線的一條弦，是的中點(diǎn)，且兩點(diǎn)縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為，

由已知的結(jié)論可知：，同理可知；

（3）如果將（2）中的結(jié)果看成是一次操作，將操作繼續(xù)下去，取每段新的弦的中點(diǎn)做平行于軸的直線與拋物線得到交點(diǎn)，并與弦的端點(diǎn)連接，計(jì)算得到的新三角形面積，操作無(wú)限重復(fù)下去：

第一次操作：增加的面積為，面積為；

第二次操作：增加了個(gè)三角形，面積為；

第三次操作：增加了個(gè)三角形，面積為；……

由此可知每次新增加的面積構(gòu)成一個(gè)公比為的等比數(shù)列，隨著操作持續(xù)下去這些三角形逐漸填滿整個(gè)“弓形”，

所以“弓形”面積為：.