如圖一，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝2．把△ABD沿BD折起(如圖二)，使二面角A－BD－C的余弦值等于．對于圖二．

(Ⅰ)求AC；

(Ⅱ)證明：AC⊥平面BCD；

(Ⅲ)求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)取的中點，連接，

　　由，得：

　　就是二面角的平面角，

　　　2分

　　在中，

　　　4分

　　(Ⅱ)由，

　　

　　，又平面．　8分

　　(Ⅲ)方法一：由(Ⅰ)知平面平面

　　∴平面平面平面平面，

　　作交于，則平面，

　　就是與平面所成的角

　　．　12分

　　方法二：設點到平面的距離為，

　　∵

　　

　　

　　于是與平面所成角的正弦為

　　．

　　方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，則．

　　設平面的法向量為，則

　　，，

　　取，則，于是與平面所成角的正弦即

　　．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖一，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖二），使二面角A-BD-C的余弦值等于
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．對于圖二，完成以下各小題：
（Ⅰ）求A，C兩點間的距離；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省六校高三4月月考考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖一，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，，，。

把沿BD折起（如圖二），使二面角A-BD-C的余弦值等于。對于圖二，

（1）求的長，并證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省六校高三4月月考考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖一，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，，，。

把沿BD折起（如圖二），使二面角A-BD-C的余弦值等于。對于圖二，

（1）求的長，并證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年遼寧省名校領航高考數(shù)學預測試卷（六）（解析版） 題型：解答題

如圖一，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：
（Ⅰ）求A，C兩點間的距離；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2009年廣東省深圳市高考數(shù)學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖一，平面四邊形ABCD關于直線AC對稱，∠A=60°，∠C=90°，CD=2．把△ABD沿BD折起（如圖二），使二面角A-BD-C的余弦值等于．對于圖二，完成以下各小題：
（Ⅰ）求A，C兩點間的距離；
（Ⅱ）證明：AC⊥平面BCD；
（Ⅲ）求直線AC與平面ABD所成角的正弦值．

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