設(shè)函數(shù)f(x)=2cos2x+
3
sin2x

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間
(2)當(dāng)x∈[0,
π
3
]時,求f(x)的最大值
分析:(1)由二倍角的余弦公式和輔助角公式,化簡得2sin(2x+
π
6
)+1,再結(jié)合正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間的公式和周期公式,即可得到f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)根據(jù)題意,得到2x+
π
6
∈[
π
6
,
6
]
,再結(jié)合正弦函數(shù)圖象在區(qū)間[
π
6
,
6
]上的單調(diào)性,即可得到f(x)在區(qū)間[0,
π
3
]上的最大值.
解答:解:(1)∵cos2x=
1
2
(cos2x+1),
f(x)=2cos2x+
3
sin2x
=cos2x+
3
sin2x+1=2sin(2x+
π
6
)+1….(2分)
因此,函數(shù)f(x)的最小正周期T=
2
=π….(4分)
2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
,解得
kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
,(k∈Z)
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-
π
3
,kπ+
π
6
](k∈Z)
…(6分)
(2)當(dāng)x∈[0,
π
3
]
時,即2x+
π
6
∈[
π
6
6
]

由此可得當(dāng)2x+
π
6
=
π
2
時,[f(x)]max=2+1=3
x=
π
6
時,f(x)的最大值為3…(12分)
點(diǎn)評:本題給出三角函數(shù)式,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和周期并求在閉區(qū)間上的最值,著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識,屬于基礎(chǔ)題.
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設(shè)函數(shù)f(x)=
x2(x≤0)
3x(x>0)
,若f(α)=9,則實(shí)數(shù)α=( 。

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2,x<1
x-1
,x≥1
則f(f(f(1)))=( 。

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(2012•湖南模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且f(1)=-
a
2
,3a>2c>2b
,求證:
(1)a>0且-3<
b
a
<-
3
4
;
(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點(diǎn);
(3)設(shè)x1,x2是函數(shù)f(x)的兩個零點(diǎn),則
2
≤|x1-x2|<
57
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
-4x,x≤0
x2,x>0
,若f(a)=4
,則實(shí)數(shù)a=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+bx+c(x≤0)
2(x>0)
,若f(-2)=f(0),f(-1)=-3,則關(guān)于x的方程f(x)=x的解的個數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4

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