若函數(shù)f(x)=
1
x
+
1
1-x
的定義域為（0，1），則f（x）的值域為（　　）
分析：化簡得f(x)=
1
x(1-x)
，根據(jù)x∈（0，1）利用基本不等式求出分母x（1-x）的最大值為
1
4
，得0＜
1
f(x)
≤
1
4
，解之即可得到函數(shù)f（x）的值域．
解答：解：f(x)=
1
x
+
1
1-x
=
1-x+x
x(1-x)
=
1
x(1-x)

∵x∈（0，1），得x＞0且1-x＞0，
∴x（1-x）≤[
x+(1-x)
2
]2=
1
4
，當且僅當x=1-x時，即x=
1
2
時等號成立．
可得0＜x（1-x）≤
1
4
，
又∵f(x)=
1
x(1-x)
，得x（1-x）=
1
f(x)
，
∴0＜
1
f(x)
≤
1
4
，解之得f（x）≥4，即函數(shù)f（x）的值域為[4，+∞）
故選：D
點評：本題給出分式函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的值域．著重考查了基本不等式求最值、分式函數(shù)值域的求法等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
1
x
    x＜0
(
1
3
)x x≥0
則不等式|f(x)|≥
1
3
的解集為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f(x)=
1x+1
，則函數(shù)y=f（f（x））的定義域為
{x|x∈R，x≠-1且x≠-2}
{x|x∈R，x≠-1且x≠-2}
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對定義域分別為Df、Dg的函數(shù)y=f（x）、y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h(x)=
f(x)•g(x)(x∈Df且x∈Dg)
f(x)(x∈Df且x∉Dg)
g(x)(x∉Df且x∈Dg).

（1）若函數(shù)f(x)=
1
x-1
，g（x）=x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（2）求（1）問中函數(shù)h（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y=f（x）、y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=
f(x)•g(x)  (當x∈Df且x∈Dg)
f(x)  (當x∈Df且x∉Dg)
g(x)  (當x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)=
1
x-1
，g（x）=x2，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

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