Question

已知f₁（x）=sinx+cosx，記f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x）f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*，n≥2），f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+f3(

π

4

)+…+f2013(

π

4

)=（　�。�

• A．0
• B．

  2

• C．-

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)求導(dǎo)法則求出f₂（x）、f₃（x）、f₄（x），…觀(guān)察所求的結(jié)果，歸納其中的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)標(biāo)號(hào)的周期性為4，每四項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，再將x=

π

4

代入即可求得正確答案．

解答：解：∵f₁（x）=sinx+cosx，
∴f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=sinx+cosx=f₁（x）
∴…，f_n（x）=f_n+4（x）（n∈N^*且n≥2），
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f1(

π

4

)+f2(

π

4

)+f3(

π

4

)+…+f2013(

π

4

)=f₁（

π

4

）=sin

π

4

+cos

π

4

=

2

故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、周期性、及觀(guān)察歸納思想的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握三角函數(shù)的求導(dǎo)法則，利用其中的函數(shù)周期性則解決本題的關(guān)鍵．