Question

（2013•虹口區(qū)二模）定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個(gè)數(shù)x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱(chēng)此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x²在R上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f(x)=x2+

a

x

在區(qū)間[1，2]上是“凸函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于區(qū)間[c，d]上的“凸函數(shù)”f（x），在[c，d]上的任取x₁，x₂，x₃，…，x2n，證明：f(

x1+x2+…+x2n

2n

)≥

1

2n

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

Answer 1

分析：（1）直接利用函數(shù)是“凸函數(shù)”的定義，通過(guò)放縮法證明即可；
（2）直接利用函數(shù)f(x)=x2+

a

x

在區(qū)間[1，2]上是“凸函數(shù)”，列出關(guān)系式，利用基本不等式求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于區(qū)間[c，d]上的“凸函數(shù)”f（x），在[c，d]上的任取x₁，x₂，x₃，…，x2n，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟直接證明：f(

x1+x2+…+x2n

2n

)≥

1

2n

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

解答：（18分）解：（1）設(shè)x₁，x₂是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有f(

x1+x2

2

)=-(

x1+x2

2

)2=

1

4

(-

x

2 1

-2x1x2-

x

2 2

)≥

1

2

(-

x

2 1

-

x

2 2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]．
∴函數(shù)f（x）=-x²在R是“凸函數(shù)”．…（4分）
（2）若對(duì)于

1，2

上的任意兩個(gè)數(shù)x₁，x₂，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(

x

2 1

+

a

x1

)+(

x

2 2

+

a

x2

)]，
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1x2(x1+x2)…（7分）
若x₁=x₂，a可以取任意值．
若x₁≠x₂，得a≤-

1

2

x1x2(x1+x2)，
∵-8＜-

1

2

x1x2(x1+x2)＜-1，
∴a≤-8．
綜上所述得a≤-8．…（10分）
（3）當(dāng)k=1時(shí)由已知得f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
假設(shè)當(dāng)k=m（m∈N^*）時(shí)，不等式成立即f(

x1+x2+…+x2k

2m+1

)≥

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]成立．
那么，由c≤

x1+x2+…+x2m

2m

≤d，c≤

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

≤d
得f(

x1+x2+…+x2m+1

2m+1

)=f{

1

2

[

x1+x2+…+x2m

2m

+

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

]}≥

1

2

[f(

x1+x2+…+x2m

2m

)+f(

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

)]≥

1

2

{

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]+

1

2m

[f(x2m+1)+f(x2m+2)+…+f(x2m+1)]}
=

1

2m+1

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m+1)]．
即k=m+1時(shí)，不等式也成立．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理不等式得證．…（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法以及放縮法證明問(wèn)題的步驟，新定義的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．